1前言 并聯(lián)機構(gòu)具有......



1 前言
并聯(lián)機構(gòu)具有剛度大、承載能力強、位置精度高、響應(yīng)快等許多串聯(lián)機構(gòu)所沒有的優(yōu)點其應(yīng)用前景十分廣闊。近幾年來引起了機床領(lǐng)域研究學者及產(chǎn)業(yè)界的廣泛重視。然而這類機構(gòu)的運動學和動力學求解問題比較復(fù)雜．是機構(gòu)學研究的難點之一。另外，在對并聯(lián)機構(gòu)機械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動力學分析中，一般都是將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)作為剛性體進行處理，這樣只能進行力的分析，無法分析力作用下的位移。本文介紹一種新的并聯(lián)機構(gòu)的剛度解析方法即將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)作為柔性體處理可直接求解系統(tǒng)的剛度，具有獨特優(yōu)點。下面以3-RPS并聯(lián)機構(gòu)為例進行說明。我們把這種機構(gòu)作為獨立的并聯(lián)機構(gòu)用于混聯(lián)式數(shù)控機床。
在3-RPS機構(gòu)的設(shè)計過程中，贅個機構(gòu)的剛度取決于組成機構(gòu)的各構(gòu)件要素(桿件和關(guān)節(jié))的剛度，如何合理設(shè)計各桿件的結(jié)構(gòu)參數(shù)使機構(gòu)在各種位姿及外力作用下剛度均衡是設(shè)計的關(guān)鍵。
2 機構(gòu)組成
3-RPS 并聯(lián)機構(gòu)部件由動平臺、定平臺及連接兩平臺的二個分支組成，如圖1 所示，其中三個分支與定平臺相連的運動副為轉(zhuǎn)動副(R) ，與動平臺相連的運動副為球面副(S) , R和S兩個運動副之間為移動副(P)。由機構(gòu)的運動學分析可知．該機構(gòu)具有沿Z軸的移動和繞X軸與Y軸的轉(zhuǎn)動(等效的瞬時轉(zhuǎn)軸)三個自由度當機構(gòu)的移動副作長度變化時，運動平臺的位姿隨之變化。3 關(guān)節(jié)的邊界元法合成 邊界元法是把對象的控制微分方程式變換成邊界上的積分方程式，然后把該積分方程式離散，進行求解。由于邊界元法只對對象的邊界進行處理，因此，可以把考慮問題的維數(shù)降低一維。對于桿類零件，由于領(lǐng)域為一維領(lǐng)域，故其邊界就是點，與有限元法相比邊界單元的數(shù)目和節(jié)點的數(shù)目少，數(shù)據(jù)輸入的準備工作簡單，需要的計算機容量小，計算速度快。
并聯(lián)機器人機構(gòu)是桿系機構(gòu)各桿件通過各種關(guān)節(jié)相連接，可作為桿類機械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進行性能分析。單個桿是該系統(tǒng)的一個子結(jié)構(gòu)，利用邊界元法可得到每個子結(jié)構(gòu)的邊界方程式，然后找出相聯(lián)接的子結(jié)構(gòu)間的邊界關(guān)系，即結(jié)合條件式。最后利用結(jié)合條件式對各子結(jié)構(gòu)的邊界方程式聯(lián)立求解，得出整個系統(tǒng)的邊界力和位移，繼而求得系統(tǒng)的靜剛度。
如圖2所示的兩個子結(jié)構(gòu)合成求解的過程如下。
子結(jié)構(gòu)的方程式 {Fa}=[K1]{Xa}+{P1}
FbXb
(1)
{Fc}=[K2]{Xc}+{P2}
FdXd
(2)

式中：K1、K2分別為子結(jié)構(gòu)1和2的剛性系數(shù)矩陣(包括拉壓、彎曲及扭轉(zhuǎn))，取決于各子結(jié)構(gòu)的長度、截面特牲等結(jié)構(gòu)參數(shù)及材料特性參數(shù)；P1、P2分別為作用于子結(jié)構(gòu)上的外力的力矢量；Fa、Fb、Fc、Fd和Xa、Xb、Xc、Xd分別為兩個子結(jié)構(gòu)在邊界點處的力矢最和位移矢量它們分別包括六個坐標方向的力、力矩或位移、轉(zhuǎn)角。例如Fa={Fa1 Fa2 Fa3 Fa4 Fa5 Fa6}T 結(jié)合條件式 當兩個子結(jié)構(gòu)剛性聯(lián)接時，聯(lián)接點處的力大小相等，方向相反，而且位移相等，故結(jié)合條件式為： 位移結(jié)合條件：
[0 -IC I 0]{Xa Xb Xc Xd}T=0(3)
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力結(jié)合條件： [0 -IC I 0]{Fa Fb Fc Fd}T=0(4)
式中：I表示單位矩陣；C表示坐標轉(zhuǎn)換矩陣。當子結(jié)構(gòu)相互之間采用關(guān)節(jié)聯(lián)接時，繞其關(guān)節(jié)軸的自由度不受約束即繞關(guān)節(jié)軸的力矩為零，位移為剛體運動導致子結(jié)構(gòu)邊界方程在聯(lián)立求解時無解，因此不能在結(jié)合條件式中包含相應(yīng)的力矩和位移。由于繞關(guān)節(jié)軸的力矩為已知量，故子結(jié)構(gòu)方程式中的該元素可作為邊界條件。如圖2所示，兩子結(jié)構(gòu)在聯(lián)接處繞X1軸轉(zhuǎn)動的結(jié)合條件式如下： [0 -IC’ I 0]{Xa Xb Xc Xd}T=0(5)
[0 -IC’ I 0]{Fa Fb Fc Fd}T=0(6)
式中：C’為與非關(guān)節(jié)運動方向相關(guān)的坐標轉(zhuǎn)換矩陣。在關(guān)節(jié)方向的分童中，對應(yīng)的力矩為零位移為未知量。 合成后系統(tǒng)的邊界方程 將式(5)、(6)代人式(1)、(2)中得到合成后的邊界方程式為 {Fa}=[K]{Xa}+{P}
FdXd
(7)

式中：Xa、Fa為包含關(guān)節(jié)方向分量的桿1的邊界方程，[K]為合成后整個機械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的剛性系數(shù)矩陣。 將所有已知的邊界條件代人式(7)中求解，即可解出系統(tǒng)中未知的邊界條件，從而獲得系統(tǒng)的剛度。 4 3-RPS并聯(lián)機構(gòu)剛度的邊界元法解析 圖3所示為3-RPS并聯(lián)機構(gòu)剛度分析的邊界元模型，O-XYZ為建立在定平臺上的總體坐標系，oi-xiyizi為建立在各子結(jié)構(gòu)上的局部坐標系。F為作用在動平臺上的外力系(可為任意方向的力或力矩)。 由各分支機構(gòu)中各桿件的長度、截面特性等結(jié)構(gòu)參數(shù)獲得子結(jié)構(gòu)方程式(1)中的剛性系數(shù)矩陣[K]；由各桿件局部坐標系相對于總體坐標系的姿勢獲得坐標轉(zhuǎn)換矩陣C；將已知的邊界條件值代氣式(7)求解出未知邊界條件。至此，獲得了在外力系F的作用下整個機械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的變形、即系統(tǒng)的靜剛度。 要優(yōu)化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)提高系統(tǒng)的剛度，就必須合理設(shè)計系統(tǒng)中各子結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，使系統(tǒng)的整體剛度最大。將整個機械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的邊界條件通過坐標變換轉(zhuǎn)換為單個桿件的邊界條件，再次利用上面的解析過程，得出組成并聯(lián)機構(gòu)所有桿件的受力狀態(tài)與力作用下的變形，為結(jié)構(gòu)設(shè)計提供了依據(jù)。 如圖3所示，3-RPS并聯(lián)機構(gòu)動平臺位姿矩陣為T，在Om點處作用力分別為Fx=1000N、Fy=1000N時計算各桿的受力狀況及系統(tǒng)剛度，如下表所示。
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各分支的受力及系統(tǒng)剛度計算結(jié)果表 作用力(N) (相對于O-XYZ)各分支承受的負載(相對于各分支的局部坐標系oi-xiyizi)(N)系統(tǒng)剛度(N/μm)
A-a分支B-b分支C-c分支
Fx=1000Fz=-1515.5Fz=757.76Fz=757.76112.8
Fy=1000Fz=370.5Fz=370.5Fz=370.5942.4
注：由于在不考慮摩擦和桿件重力時，所求解出的各分支在其它方向的力為零，故只給出Fz
其中，位姿矩陣T=[R P ]
O 1
R=[1 0 0 ]為動平臺坐標系統(tǒng)在定平臺坐標系統(tǒng)的方向余弦矩陣，即姿勢；
0 1 0
0 0 1
P={Px Py Pz}T為動平臺坐標原點在定平臺坐標系的位置。
5 結(jié)束語